Scheitelpunkt aus der allgemeinen Form bestimmen (Mathe 10. Klasse)

Was ist der Scheitelpunkt einer Parabel?

Der Scheitelpunkt ist der wichtigste Punkt einer Parabel. Er ist der tiefste oder höchste Punkt des Graphen und gibt damit den kleinsten (Minimum) oder größten Wert (Maximum) der quadratischen Funktion an.
Öffnet sich die Parabel nach oben (a > 0 ), so ist der Scheitelpunkt ein Minimum.
Öffnet sie sich nach unten (a < 0), handelt es sich um ein Maximum.

Merke:

• $a\; >\; 0$→ Parabel öffnet sich nach oben → Scheitelpunkt = Minimum

• a < 0 → Parabel öffnet sich nach unten → Scheitelpunkt = Maximum

Ist die quadratische Funktion in der Scheitelform y=a*(x-xs)²+ys gegeben, so kannst du den Scheitelpunkt direkt ablesen, daher der Name „Scheitelform“.

Ist die quadratische Funktion in der allgemeinen Form / Normalform y=ax²+bx+c gegeben, so kannst du die Werte für a, b und c in die Scheitelpunktformel einsetzen und erhältst die Koordinaten des Scheitelpunkts.
Der Öffnungsfaktor a befindet sich immer vor dem quadratischen Glied x², b steht immer vor dem x und c ist das neutrale Glied ohne Variable.

Jede quadratische Funktion besitzt einen kleinsten (Minimum) bzw. größten Wert (Maximum. Du hast bereits in der 8. Klasse Mathematik der Realschule Bayern gelernt wie du diese Extremwerte bei quadratischen Termen bestimmst. Nun wird in 9 I bzw. 10II/III dieses Wissen für Quadratische Funktionen angewandt.

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So zeichnest du eine Parabel: Wertetabelle erstellen und Graph zeichnen

Wertetabelle mit dem Taschenrechner erstellen

Mit einem Taschenrechner kannst du schnell und zuverlässig eine Wertetabelle zu einer Parabel erstellen. Lege dazu einen Startwert, einen Endwert sowie eine Schrittweite für die x-Werte fest. Der Taschenrechner berechnet automatisch die zugehörigen Funktionswerte.

Im Folgenden wird die Vorgehensweise beispielhaft mit dem CASIO fx-991DEX gezeigt. Die Screenshots helfen dir, die einzelnen Schritte direkt am Gerät nachzuvollziehen.

Merke: Eine kleine Schrittweite liefert einen genaueren Graphen, erfordert aber mehr Punkte.

Für die Mathe-Abschlussprüfung der Realschule Bayern gibt es verschiedene Taschenrechner, die zugelassen sind. Näheres zur Prüfung findest du hier.

Mithilfe des Taschenrechners CASIO fx-991 DEX kannst du so die Wertetabelle erstellen lassen:
1. Schritt: Menü-Taste drücken und Menü 9 (Tabellen) wählen
2. Schritt: Gib die Funktiosngleichung ein.
3. Schritt: Lege den Bereich der Wertetabelle fest.
Tipp: Mindestens 2-3 Werte links vom Scheitel und 2-3 Werte rechts vom Scheitel. Nachdem die Symmetrieachse der Parabel immer durch den Scheitel verläuft, brauchst du Werte links vom Scheitel und auch rechts vom Scheitel.

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Typische Fehler bei Parabeln (Prüfung!)

• x-Werte und y-Werte vertauscht
  → In der Wertetabelle steht x in der ersten Spalte, der berechnete Funktionswert f(x) = y in der zweiten.

• Zu große Schrittweite gewählt
  → Mit Schrittweiten wie Δx = 2 oder 3 wird der Graph oft ungenau.
  Tipp: In Prüfungen besser Δx = 1 (oder kleiner).

• Scheitelpunkt nicht erkannt oder nicht markiert
  → Der Scheitelpunkt ist der wichtigste Punkt der Parabel und muss im Koordinatensystem sauber eingezeichnet werden.

• Graph nicht symmetrisch gezeichnet
  → Parabeln sind immer achsensymmetrisch zur Symmetrieachse durch den Scheitelpunkt.

• Falscher Maßstab im Koordinatensystem
  → Achte darauf, dass auf beiden Achsen der gleiche Abstand immer den gleichen Zahlenwert bedeutet.

• Vorzeichenfehler bei der Funktionsgleichung
  → Besonders häufig bei Termen wie

  $y = -x^2 + \do$oder $y = (x-3)^2$

Alternative: Scheitelpunkt mithilfe quadratischer Ergänzung bestimmen

Alternativ kannst du den Scheitel der allgemeinen Form auch mithilfe der quadratischen Ergänzung ermitteln. Die Schritte sind immer gleich.
Wenn du gerne das Prinzip der Quadratischen Ergänzung wiederholen möchtest, findest du hier mehr dazu.

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