Rechtwinkliges Dreieck als Voraussetzung für den Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras kann in allen rechtwinkligen Dreiecken angewendet werden. Die Eckpunkte des Dreiecks werden mit Großbuchstaben bezeichnet und dann gegen den Uhrzeigersinn angetragen. (Diese Vorgehensweise kennst du auch von den Winkeln.) Die gegenüberliegende Seite der Ecke A heißt a, gegenüber von B liegt die Seite b und ebenso ist die Lage bei C und c.
Die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, wird als Hypotenuse bezeichnet. Dies ist immer die längste Seite des Dreiecks. (Denk an die Seiten-Winkel-Beziehung: Ein Dreieck hat stets die Innenwinkelsumme von 180°. Gegenüber vom größten Winkel (im rechtwinkligen Dreieck ist das der 90°-Winkel) liegt immer die längste Seite.

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Der Satz des Pythagoras und die Formeln

Pythagoras von Samos war ein griechischer Mathematiker und Philosoph. Er erkannte, dass in allen rechtwinkligen Dreiecken Folgendes gilt:
Trägt man über den beiden Katheten (hier: a und b) und über der Hypotenuse Quadrate an, so besteht zwischen den Flächeninhalten immer ein Zusammenhang.
Die Fläche der beiden Kathetenquadrate a² und b² ergeben zusammen den gleichen Flächeninhalt wie das des Hypotenusenquadrats c².

a² + b² = c² trifft also immer zu, wenn die Hypotenuse bei der Seite c vorliegt.

Analog lautet der Satz des Pythagoras auch:
b² + c² = a², wenn a die Hypotenuse ist
c² + a² = b², wenn b die Hypotenuse ist.

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Beispiele für den Satz des Pythagoras: Hypotenuse c berechnen

In diesem Beispiel sind die beiden Katheten a = 6 cm und b = 4 cm gegeben. Mithilfe vom Satz des Pythagoras kann nun die fehlende Hypotenuse berechnet werden.
Der Satz des Pythagoras lautet aufgrund der Hypotenuse bei c so:

a² + b² = c²
Natürlich kannst du die Seiten der Gleichung auch umdrehen.
c² = a² + b²
Setze nun die Länge von a und b ein und ziehe die Wurzel, damit das ² bei c verschwindet.

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Beispiele für den Satz des Pythagoras: Hypotenuse b berechnen

In diesem Beispiel sind die beiden Katheten a = 1 cm und c = 2 cm gegeben. Mithilfe vom Satz des Pythagoras kann nun die fehlende Hypotenuse b berechnet werden.
Der Satz des Pythagoras lautet aufgrund der Hypotenuse bei b so:

a² + c² = b²
Natürlich kannst du die Seiten der Gleichung auch umdrehen.
b² = a² + c²
Setze nun die Länge von a und c ein und ziehe die Wurzel, damit das ² bei b verschwindet.

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Beispiele für den Satz des Pythagoras: Kathete berechnen

In diesem Beispiel sind vom rechtwinkligen Dreieck ABC die Kathete c mit 12 cm und die Länge der Hypotenuse a = 37 cm bekannt. Die Länge der zweiten Katehtete b kann nun mithilfe dem Satz des Pythagoras berechnet werden.
Da die Hypotenuse bei a liegt heißt die Formel:
b² + c² = a² bzw. a² = b² + c².
Setze nun für c und a ein.
a² = b² + c²
37² = b² + 12²
Mithilfe von Äquivalenzumformungen wird nun diese Gleichung nach b aufgelöst.

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