Mitternachtsformel / Nullstellenformel (Quadratische Funktion) – Lernvideos und Aufgaben (Mathe 10. Klasse)

Nullstellen einer Parabel berechnen:

Lineare Funktion zeichnen, Wertetabelle und Graph

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Was ist eine Nullstelle?

Unter Nullstelle versteht man den Schnittpunkt des Funktionsgraphen mit der x-Achse (deshalb gilt: y = 0). In der 8. Klasse (I Zweig) bzw. 9. Klasse (II/II Zweig) hast du bereits gelernt wie du die Nullstelle einer linearen Funktion berechnest. In der 10. Klasse (II/III) bzw. 9I lernst du nun wie du die Nullstellen einer Parabel berechnest. Manche Parabeln liegen so im Koordinatensystem sodass sich zwei Nullstellen ergeben. Bei anderen hingegen liegt der Scheitelpunkt der Parabel auf der x-Achse, es gibt eine Nullstelle. Und dann gibt es noch den Fall, dass die Parabel die x-Achse nicht schneidet, es gibt hier keine Nullstelle. Die Zeichnung veranschaulicht dir diese 3 möglichen Szenarien. Nun betrachten wir wie diese 3 Möglichkeiten rechnerisch bestimmt werden können.

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Nullstellen berechnen mit der “Nullstellenformel” (oder auch “Mitternachtsformel”)

Diese Formel ist sehr bekannt und sollte so gut sitzen, dass du diese selbst dann beherrscht, wenn du aus dem Schlaf gerissen wirst (an Mitternacht).

x1/2 bedeutet, dass du mithilfe dieser Formel die beiden Nullstellen x1 und x2 berechnen kannst. Einmal wendest du diese mit + an und einmal mit -, deshalb erscheinen in der Mitternachtsformel beide Rechenzeichen übereinander.

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Nullstellen berechnen: Zwei Nullstellen (Diskriminante positiv)

Setze zunächst die Funktionsgleichung der Parabel gleich 0, also =0. Nachdem die Nullstellen stets auf der x-Achse liegen, ist der y-Wert immer 0.
Nun kannst du a, b und c ablesen. a befindet sich immer vor dem quadratischen Glied, b vor dem Element mit x und c ist das neutrale Glied.
Mithilfe der Formel D=b²-4ac kannst du nun die Diskriminante D berechnen. Ist die Diskriminante positiv, also > 0, so weißt du, dass diese Funktion zwei Nullstellen hat.
Setze anschließend in die Mitternachtsformel ein und berechne die konkreten Koordinaten der beiden Nullstellen:

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Nullstellen berechnen: Eine Nullstelle (Diskriminante =0)

Setze zunächst die Funktionsgleichung der Parabel gleich 0, also =0. Mithilfe der Formel D=b²-4ac kannst du nun die Diskriminante D berechnen. Ist die Diskriminante 0, so weißt du, dass diese Funktion eine Nullstelle hat.
Setze anschließend in die Mitternachtsformel ein. Egal, ob du + oder – rechnest, es ergibt sich stets der gleiche Wert für die Nullstelle.

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Nullstellen berechnen: Keine Nullstelle (Diskriminante negativ)

Setze zunächst die Funktionsgleichung der Parabel gleich 0, also =0. Mithilfe der Formel D=b²-4ac kannst du nun die Diskriminante D berechnen. Ist die Diskriminante negativ, so weißt du, dass diese Funktion keine Nullstelle hat.
Du braucht nun gar nicht mehr in die Mitternachtsformel einzusetzen, da diese Parabel keine Nullstelle besitzt.
Nachdem der Radikand (der Term unter der Wurzel) in diesem Fall negativ ist, kann x1 oder auch x2 nicht berechnet werden.

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