Grundmengen ℕ, ℤ und ℚ einfach erklärt

Was ist eine Grundmenge?

Eine Grundmenge legt fest, welche Zahlen für eine Variable (Unbekannte) erlaubt sind.
Das bedeutet: Nicht jede Zahl darf automatisch als Lösung verwendet werden, sondern nur Zahlen aus der vorgegebenen Grundmenge.
In der Schule sind damit meist die Zahlenmengen ℕ, ℤ und ℚ gemeint. Ab der 9. Klasse (Mathematik Realschule) gibt es auch noch die Menge IR.

Beispiel: Ist die Grundmenge ℕ, sind nur positive ganze Zahlen erlaubt – negative Zahlen oder Brüche sind dann keine gültigen Lösungen.

Folgende Grundmengen kommen sehr häufig vor:

Natürliche Zahlen ℕ (Grundmenge) einfach erklärt

Die Grundmenge ℕ ist die Menge aller natürlichen Zahlen. Zur Grundmenge ℕ gehören die Zahlen 1; 2; 3; 4; …In der Zahlenmenge IN ist 0 nicht enthalten, hierzu wird die Zahlenmenge IN0 benötigt. Die tiefgestellte 0 zeigt an, dass neben allen natürlichen Zahlen zusätzlich noch 0 inbegriffen ist. Diese Zahlenmenge lernst du in der 5. Klasse Mathematik der Realschule Bayern. Du wirst sehen, z.B. beim Thema „Gleichungen lösen“ benötigst du die Zahlenmengen.

Grundmenge ℤ (ganze Zahlen) einfach erklärt

In der Zahlenmenge ℤ, also der Menge der ganzen Zahlen, sind neben allen positiven ganzen Zahlen wie beispielsweise 1; 2; 3; 4; 5 auch die Zahl 0 und alle negativen ganzen Zahlen enthalten.
Dazu gehören zum Beispiel …; -5; -4; -3; -2; -1.

Die positiven ganzen Zahlen werden auch als natürliche Zahlen bezeichnet. Damit gilt: Die natürlichen Zahlen sind eine Teilmenge der ganzen Zahlen.

Diese Erweiterung der Zahlen lernst du bereits in der 5. Klasse, damit du auch mit negativen Zahlen rechnen kannst.

Beim Thema Gleichungen lösen ist immer eine Grundmenge G gegeben. Sie legt fest, welche Zahlen für die Variable eingesetzt werden dürfen.

Als Grundmenge kommen zum Beispiel in Frage:

• die natürlichen Zahlen ℕ
• die ganzen Zahlen ℤ
• die rationalen Zahlen ℚ

Ist eine berechnete Lösung nicht in der Grundmenge enthalten, gehört sie nicht zur Lösungsmenge. In diesem Fall erhält man die sogenannte leere Menge. 

Im folgenden Beispiel wird geprüft, ob die Zahl 2,5 in der jeweiligen Grundmenge G enthalten ist:

Grundmenge ℚ (rationale Zahlen) einfach erklärt

Die Zahlenmenge Q, die Menge der rationalen Zahlen beinhaltet neben allen Zahlen, die in der Menge IN, IN0 und auch Z enthalten sind noch alle Dezimalzahlen und Brüche. Nachem bisher nur ganze Zahlen wie beispielsweise -4; -3;-2; -1; 0; 1; 2; 3…vorgekommen sind, wird in der 6. Klasse Mathematik der Realschule Bayern nun die Menge Q eingeführt. In dieser Zahlenmenge sind alle Zahlen der gesamten Zahlengerade enthalten. Ist bei einer Gleichung die Grundmenge Q angegeben, weißt du, dass nun auch Brüche und Dezimalzahlen als Lösung in Frage kommen können.
In der 9. Klasse der Realschule Bayern lernst du noch eine weitere Zahlenmenge kennen, die Menge IR der reellen Zahlen.