(Einfache) quadratische Gleichungen lösen – Lernvideos und Aufgaben (Mathe 9. Klasse)
Wann ist eine Gleichung eine quadratische Gleichung?
Eine Gleichung enthält immer ein „=“. Eine Gleichung wird als quadratisch bezeichnet, wenn der höchste Exponent der Variable 2 ist. Somit haben quadratische Gleichungen die Form
x² = a.
Wie du diese mithilfe von Äquivalenzumformungen lösen kannst, lernst du in der Realschule bereits in der 6. Klasse. In der 7. Klasse werden diese weiter vertieft, indem du auch Terme innerhalb einer Gleichung vereinfachen musst. In der 8. Klasse kann die Variable auf beiden Seiten von = auftauchen. In der 9. Klasse betrachtest du quadratische Gleichungen der Form x² = a genauer. In der 10. Klasse Mathematik (Realschule Bayern) werden quadratische Gleichungen der Form ax² + bx + c = 0 gelernt und außerdem lernst du wie du Exponentialgleichungen lösen kannst.
Quadratische Gleichungen der Form x² = a:
Du lernst in der 9. Klasse, dass es bei quadratischen Gleichungen genau drei Möglichkeiten für die Lösungsmenge IL gibt.
Fall 1: z.B. x² = 144 x1 = 12 und x2 = -12
IL = {-12;12}
12² = 144 und (-12)² = 144
Ist die Zahl rechts vom =, also a positiv, so gibt es immer zwei Lösungen. Beide Lösungen müssen angegeben werden!
Fall 2: z.B. x² = 0 x = 0
IL = {0}
Ist die Zahl rechts vom =, also a = 0, so gibt es nur eine Lösung, nämlich x = 0.
Denn: 0² = 0.
Fall 3: z.B. x² = -144
IL = { }
Ist die Zahl rechts vom =, also a negativ, so gibt es keine Lösung, die Lösungsmenge ist leer.
Fall 1 (2 Lösungen): Quadratische Gleichung x² = a lösen
Diese quadratische Gleichung hat zwei mögliche Lösungen.
Denn: 0,1² = 0,01 und
(-0,1)² = -0,1 * (-0,1) = 0,01.
Immer wenn die quadratische Gleichung am Ende einen positiven Wert ergeben soll,
also a > 0 gilt, musst du zwei Lösungen angeben.
Nachdem in diesen Fällen die Grundmenge IR gilt, sind alle Zahlen in der Lösungsmenge enthalten und können somit in die geschweifte Klammer gesetzt werden. Wären die Zahlen in der Grundmenge nicht enthalten, müsstest du eine leere Menge als Lösungsmenge angeben.
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Fall 2 (1 Lösung): Quadratische Gleichung x² = a lösen
Die quadratische Gleichung
x² = 0 hat nur eine Lösung, denn nur 0² = 0 * 0 = 0.
In der 10. Klasse lernst du auch quadratische Gleichungen der Form
ax² + bx + c = 0. Wie das geht, erfährst du hier.
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Fall 3 (Keine Lösung): Quadratische Gleichung x² = a lösen
Dieser dritte Fall zeigt eine leere Menge als Lösungsmenge IL. Denn: Es gibt keine Zahl, die quadriert -100 ergibt.
Das ist immer so, wenn eine negative Zahl herauskommen sollte. Somit weißt du, wenn a negativ ist, ergibt sich eine leere Menge.
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