Volumen und Oberfläche einer Kugel bzw. Halbkugel – Lernvideos und Aufgaben (Mathe 10. Klasse)
Kugel als Rotationskörper (Mathe Abschlussprüfung 10 II/III Realschule)
Ein Kugel entsteht durch Rotation eines Kreises um eine Rotationsachse (siehe Bild). Durch Rotation eines Halbkreises um eine Rotationsachse, entsteht eine Halbkugel.
Die Berechnung von Volumen und Oberfläche von Kugel bzw Halbkugel ist ein prüfungsrelevantes Thema der Mathe-Abschlussprüfung (Realschule Bayern, 10II/III) aus dem Bereich der Raumgeometrie.
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So berechnest du das Volumen einer Kugel:
Mit der Formel V = 4/3 * r³ * pi kannst du das Volumen jeder Kugel berechnen. In der Mathe-Abschlussprüfung gilt es sehr häufig im Bereich der Raumgeometrie das Volumen der Kugel zu berechnen.
Beispiel – Volumen einer Kugel berechnen (Radius gegeben)
Hier in diesem Beispiel beträgt der Radius der gegebenen Kugel 5 cm. Setze nun in die Formel für das Kugelvolumen V = 4/3 * r³ * pi anstelle von r die Größe von 5 cm ein.
Diese Kugel hat ein Volumen von 523,60 cm³.
Du hast zwei Möglichkeiten: Entweder setzt du die Größe mit der Längeneinheit ein, dann benötigst du zwingend Klammern, damit sowohl die Zahl, als auch die Einheit ³ berechnet wird. Alternativ kannst du auch die Einheit weglassen, dann wird die Klammer auch nicht benötigt. Beim Endergebnis muss allerdings immer die Einheit dabeistehen! (Hier: cm³)
Beispiel – Radius einer Kugel berechnen (Volumen der Kugel gegeben)
Es tauchen auch Aufgaben auf, bei denen das Volumen der Kugel bekannt ist und der Radius der Kugel berechnet werden soll. Setze nun in die Formel V = 4/3 * r³ * pi das gegebene Kugelvolumen ein. Nun gilt es die Formel mithilfe von Äquivalenzumformungen nach der gesuchten Größe r aufzulösen. Indem du durch 4/3 pi dividierst, steht auf der einen Seite der Gleichung r³ alleine. Durch Wurzelziehen ergibt sich der gesuchte Radius r.
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Beispiel – Volumen einer Halbkugel berechnen (Radius gegeben)
Das Volumen einer Halbkugel kann mithilfe der Formel für das Kugelvolumen berechnet werden. Nachdem eine Halbkugel stets die Hälfte des Kugelvolumens (mit gleichem Radius) beträgt, musst du lediglich das Volumen halbieren (:2).
Auch hier kannst du anstelle von r den gegebenen Radius (hier: 5 cm) einsetzen oder die Einheit weglassen, dann ist das Weglassen der Klammer möglich.
Beim Endergebnis muss auch hier die Einheit (z.B. cm³) stehen.
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So berechnest du die Oberfläche einer Kugel:
Auch das Berechnen der Oberfläche einer Kugel ist Bestandteil der Mathe-Abschlussprüfung (10II/III Realschule Bayern). Mithilfe der Formel O = 4 * pi * r² kann die Oberfläche jeder Kugel berechnet werden.
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Beispiel – Oberfläche einer Kugel berechnen (Radius gegeben)
In diesem Beispiel siehst du wie du bei einem gegebenen Radius der Kugel (hier: r = 5 cm ) die Oberfläche dieser Kugel berechnen kannst. Setze in die Formel für die Oberfläche einer Kugel anstelle von r ein und berechne anschließend.
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Beispiel – Radius einer Kugel berechnen (Oberfläche der Kugel gegeben)
In diesem Beispiel ist die Oberfläche der Kugel mit O = 452,39 cm³ gegeben. Durch Einsetzen der Oberfläche in die Formel kannst du nun nach dem Radius r auflösen. Mithilfe von Äquivalenzumformungen ergibt sich hier für r = 6 cm.
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Beispiel – Oberfläche einer Halbkugel berechnen (Radius gegeben)
Wie auch beim Volumen einer Kugel und Halbkugel, so gilt gleiches für die Oberfläche einer Kugel bzw. Halbkugel. Die Formel für die Oberfläche einer Kugel kann verwendet werden und indem man das Ergebnis halbiert (:2), ergibt sich die Oberfläche der Halbkugel.
Die Oberfläche der Halbkugel ist stets halb so groß wie die Oberfläche einer Kugel mit gleichem Radius.
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Fit in die Mathe-Abschlussprüfung Mathematik (Realschule Bayern) – Prüfungsvorbereitung online (10. Klasse – 10II/III)
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