Quadratische Ergänzung

Jeder quadratische Term besitzt einen Extremwert (Minimum oder Maximum). Ist der höchste Exponent, der auftaucht 2, so handelt es sich um einen quadratischen Term. In der 8. Klasse Mathe der Realschule Bayern lernst du wie du einen quadratischen Term so umwandeln kannst, dass du am Ende die Art (Maximum oder Minimum) und die Lage des Extremwerts ablesen kannst, z.B. Tmin = -3 für x = 4.

In 10 II/III bzw. 9 I Mathe der Realschule Bayern brauchst du die quadratische Ergänzung auch wieder, um die Koordinaten des Scheitels einer Parabel zu berechnen.

Quadratische Ergänzung – Wie geht das?

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Wenn du nicht genau weißt, wie du von (x-4)² – 3 auf Tmin = -3 für x = 4 kommst, dann klicke hier.

 

Dir liegt ein Term in der Form ax² + bx + c vor, hier: 1x² – 8x + 13.

  • Schritt 1: Halbiere die Zahl, die vor dem x steht.
    -8 : 2 = -4, deshalb -8x = -2*x*4
  • Schritt 2:Quadratische Ergänzung: +4² – 4²
    Es soll nun eine Binomische Formel entstehen, damit wir in eine kompakte Klammer umwandeln könnnen.

a² + 2*a*b + b² = (a + b)²   – Erste Binomische Formel
a² – 2*a*b+b² = (a – b)²    – Zweite Binomische Formel

x² – 2 * x * 4 + 4² = (x – 4)²
x² – 2 * x * 4 + 4² – 4²= (x – 4)² – 4²

Nachdem 4² einfach hinzugefügt wurde, damit die Erste oder Zweite Binomische Formel greift, muss nun, damit die Rechnung richtig bleibt, 4² auch gleich wieder subtrahiert werden. (=Quadratische Ergänzung)

Quadratische Ergänzung – kompakt:

Quadratische Ergänzung: Weitere Beispiele

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