Logarithmengesetze: Regeln, Beispiele & Übungen (Mathezweig 10. Klasse)
Was ist ein Logarithmus? – Einfach erklärt
In der 10. Klasse (Mathezweig) der Realschule Bayern lernst du wie du mit dem Logarithmus rechnest.
Du benötigst den Logarithmus, wenn die Variable (Unbekannte) im Exponent auftaucht. Du siehst im gegebenen Beispiel, dass du wissen möchtest wie oft die Basis 5 mit sich selbst multipliziert werden muss, um das Ergebnis 125 zu erhalten.
Natürlich kannst du durch Probieren zum Ziel gelangen – das kann jedoch je nach Aufgabe recht langwierig sein. Wendest du nun als Äquivalenzumformung den Logarithmus (Abkürzung: log) an, so kannst du den Rechenausdruck wie angegeben in den Taschenrechner eintippen und erhältst sogleich für die Variable x das Ergebnis 3.
Diese Vorgehensweise kannst du nun auch auf jeden beliebigen allgemeinen Fall anwenden, wie das Bild ebenso zeigt: Der Logarithmus von b zur Basis a ist die Zahl x, mit der man a potenzieren muss, um b zu erhalten.
Exponent gesucht? Wenn du die Hochzahl in einer Potenzrechnung herausfinden willst, hilft dir der Logarithmus!
Die wichtigsten Logarithmengesetze mit Beispielen
1. Produktregel – Logarithmus eines Produkts (Logarithmusgesetz)
Ein bedeutendes Logarithmusgesetz ist die Produktregel. Diese Regel befasst sich damit wie du den Logarithmus eines Produkts berechnen kannst: Wenn du zwei Zahlen multiplizierst und dann den Logarithmus nimmst, kannst du auch die Logarithmen der beiden Zahlen einzeln berechnen und addieren.
Dass dieses Logarithmusgesetz immer gültig ist, zeigt der allgemeine Beweis. Unter Anwendung eines Potenzgesetzes kann die Produktregel hergeleitet werden. Schau dir hierzu das Bild genauer an.
Beispiele für die Produktregel (Logarithmusgesetz):
Entdecke diese einzigartige Lernplattform und tauche ein in die spannende Welt des Mathematiklernens: Hier erwarten dich verständliche Mathe-Lernvideos, interaktive Übungen und praktische Arbeitsblätter mit Matheaufgaben zum direkten Ausdrucken. Lerne und übe hier online Mathe mit einer Realschullehrerin.
2. Quotientenregel – Logarithmus eines Bruchs (Logarithmusgesetz)
Ein weiteres wichtiges Logarithmusgesetz ist die Quotientenregel, die es dir ermöglicht den Logarithmus eines Bruchs zu berechnen: Der Logarithmus eines Bruchs ist gleich der Differenz der Logarithmen von Zähler und Nenner.
Der Beweis für das Logarithmusgesetz der Quotientenregel ähnelt dem ersten Beweis der Produktregel. Du wendest hier lediglich ein anderes Potenzgesetz an, da du nun dividierst. Bei der Produktregel hast du das Potenzgesetz benötigt, das die Potenzen mit gleicher Basis multipliziert.
Beispiele für die Quotientenregel (Logarithmusgesetz):
3. Potenzregel – Logarithmus einer Potenz (Logarithmusgesetz)
Außerdem gibt es ein Logarithmusgesetz, das den Logarithmus einer Potenz berechnet: Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem Exponenten mal dem Logarithmus der Basiszahl.
Auch bei diesem Logarithmusgesetz wendest du für die Beweisführung ein Potenzgesetz an, nämlich wie du Potenzen potenzierst.
Beispiele für die Potenzregel (Logarithmusgesetz):
Hier erwarten dich verständliche Mathe-Lernvideos, interaktive Übungen und praktische Arbeitsblätter mit Matheaufgaben zum direkten Ausdrucken. Lerne und übe hier online Mathe mit einer Realschullehrerin.
4. Basiswechsel – Logarithmus mit anderer Basis berechnen (Logarithmusgesetz)
