Ungleichungen lösen – Mathe-Lernvideos und Aufgaben (6. Klasse)

Was ist eine Ungleichung?

Eine Ungleichung besteht aus zwei Termen, die durch ein Ungleichheitszeichen verbunden sind.

Wichtige Ungleichheitszeichen

• < bedeutet „kleiner als“
• > bedeutet „größer als“
• ≤ bedeutet „kleiner oder gleich“
• ≥ bedeutet „größer oder gleich“

Bei ≤ und ≥ ist die Grenze mit enthalten, bei < und > nicht.

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Ungleichungen lösen – einfach erklärt

Um eine Ungleichung zu lösen, formst du sie Schritt für Schritt um,
bis die Variable (z. B. x) alleine steht.

Dabei nutzt du sogenannte Äquivalenzumformungen.

💡 Wichtig

Du darfst auf beiden Seiten der Ungleichung:

• die gleiche Zahl addieren oder subtrahieren
• mit der gleichen Zahl multiplizieren oder dividieren

⚠️ Achtung:
Beim Multiplizieren oder Dividieren mit einer negativen Zahl musst du das Ungleichheitszeichen umdrehen.

Wie gibt man die Lösungsmenge einer Ungleichung an?

Nachdem du die Ungleichung gelöst hast, gibst du das Ergebnis als Lösungsmenge IL an.

Beispiel

Wie schreibt man die Lösungsmenge in Mengen- oder Intervallschreibweise?

Die Lösungsmenge IL wird bei Ungleichungen entweder in der
👉 Mengenschreibweise oder
👉 Intervallschreibweise angegeben.

Unterschied zu Gleichungen

Bei Gleichungen erhältst du meist eine einzelne Lösung.
Bei Ungleichungen besteht die Lösung aus einem Zahlenbereich.

Beispiel:
Alle Zahlen, die kleiner als 10 sind.

Mengenschreibweise

In der Mengenschreibweise schreibst du:

IL = { x | x < 10 }

Das bedeutet:
„Alle Zahlen x, die kleiner als 10 sind.“

Intervallschreibweise

In der Intervallschreibweise gibst du den Bereich auf der Zahlengerade an:

IL = ]−∞ ; 10[

💡 Klammern richtig verstehen

• ] [ → Grenze ist nicht enthalten (bei < oder >)
• [ ] → Grenze ist enthalten (bei ≤ oder ≥)

Beispiele:

• x < 10 → ]−∞ ; 10[
• x ≤ 10 → ]−∞ ; 10] 

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Weitere Beispiele für Äquivalenzumformungen von Ungleichungen:

In diesem Beispiel liegt „kleiner oder gleich“ vor, sodass die Intervallgrenze (10) auch angenommen werden darf. Die Klammer schaut nach links, da sich dort auch der markierte Bereich an der Zahlengerade befindet.

In diesem Beispiel liegt „echt größer“ vor, sodass die Intervallgrenze (11) nicht angenommen werden darf. Die Klammer schaut nach links, da sich der markierte Bereich an der Zahlengerade rechts davon befindet.

In diesem Beispiel liegt „größer oder gleich“ vor, sodass die Intervallgrenze (11) angenommen werden darf. Die Klammer schaut nach rechts, da sich der markierte Bereich an der Zahlengerade auch auf dieser Seite befindet.

Wann muss man bei Ungleichungen das Ungleichheitszeichen umdrehen?

Wenn du eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multiplizierst oder dividierst, musst du das Ungleichheitszeichen umdrehen. Das Inversionsgesetz ist eine wichtige Regel beim Lösen von Ungleichungen.

In diesem Fall musst du unbedingt das Ungleichheitszeichen umdrehen:

• aus < wird >
• aus > wird <

💡 Warum ist das so?

Durch das Rechnen mit einer negativen Zahl ändert sich die Richtung auf der Zahlengeraden.
Deshalb muss auch das Ungleichheitszeichen angepasst werden.

Merke:

Inversionsgesetz:
Wenn du eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multiplizierst oder dividierst,
musst du das Ungleichheitszeichen umdrehen.

Tipp: Probe machen

Setze eine Zahl ein, die deine Lösung erfüllt.

Beispiel:
Wenn x > −3, dann ist z. B. x = 0 eine Lösung, weil die ursprüngliche Ungleichung dann stimmt.

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