Binomische Formeln

Binomische Formeln – Was ist das und was ist der Vorteil?

Ein “Binom” ist eine Summe mit zwei Summanden, z.B. x + 1. Das Quadrat eines Binoms (Exponent 2) kannst du immer wie in diesem Beispiel berechnen:

In diesem Beispiel wurden die Summenterme x+1 und x+1 multipliziert und somit die Klammer aufgelöst. Nachdem die beiden Summterme jeweils mit sich selbst multipliziert wurden, gibt es einen schnelleren/einfacheren Weg.
Die Binomischen Formeln ermöglichen es, dass du nicht mehr ausmultiplizieren musst, sondern durch Einsetzen in die Formel das Ergebnis des vereinfachten Terms erhältst.

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Erste Binomische Formel – Beispiele

Multiplizierst du die beiden Summenterme (a+b) * (a+b), dann erhältst du als Ergebnis a² + 2ab + b².

Im linken Beispiel gilt: a = x und b = 1. Nun kannst du in die Formel anstelle von a und b einsetzen und ersparst dir das Ausmultiplizieren der Summenterme.

Im rechten Beispiel gilt: a = 2x und b = 4. Wenn du anstelle von a die 2x einsetzt, musst du Klammern setzen, damit nicht nur das x quadriert wird, sondern das “gesamte Paket”. (2x)² = 2x * 2x = 4x².

Zweite Binomische Formel – Beispiele

Multiplizierst du die beiden Summenterme (a-b) * (a-b), dann erhältst du als Ergebnis a² 2ab + b².

Im linken Beispiel gilt: a = x und b = 1. Nun kannst du in die Formel anstelle von a und b einsetzen und ersparst dir das Ausmultiplizieren der Summenterme.

Im rechten Beispiel gilt: a = 11 und b = 2y. Wenn du anstelle von b die 2y einsetzt, musst du wie im oberen Beispiel Klammern setzen.

Dritte Binomische Formel – Beispiele

Die 3. Binomische Formel lautet: (a+b)*(a-b) = a² – b². a bzw. b müssen bei beiden Summentermen identisch sein, lediglich die Vorzeichen unterscheiden sich.
Bei der Aufgabe (a-b)*(a+b) handelt es sich ebenso um die 3. Binomische Formel, da hier aufgrund des Kommutativgesetzes jederzeit die Reihenfolge verändert werden kann, ohne dass sich am Ergebnis etwas ändert.

Hast du eine Aufgabe vorliegen mit verschiedenen Summentermen, so musst du ausmultiplizieren und kannst keine Binomische Formel anwenden:

Binomische Formeln im Lehrplan PLUS der Realschule Bayern

In der 8. Klasse Mathematik der Realschule Bayern taucht ein großer Themenblock auf, der sich damit befasst Terme zu vereinfachen. Mithilfe von Binomischen Formeln ist es oft möglich Terme zu vereinfachen. Wie das funktioniert, erfährst du hier anhand von Beispielen.
Quadratische Terme (mit ²) spielen auch eine besondere Rolle in der 8. Klasse. Mithilfe der Binomischen Formeln ist es möglich den Extremwert von quadratischen Termen (Minimum/Maximum) zu ermitteln.
In der 8. Klasse tauchen auch “Lineare Gleichungen / Ungleichungen” erneut auf, in denen ab dann auch Binomische Formeln autreten können.

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