Umkreis eines Dreiecks zeichnen oder konstruieren – Lernvideos und Aufgaben (Mathe 7. Klasse)

Was ist der Umkreis eines Dreiecks?

Der Umkreis eines Dreiecks ist ein Kreis, der durch alle drei Eckpunkte des Dreiecks verläuft. Jeder Eckpunkt des Dreiecks liegt also genau auf dem Kreis. Der Mittelpunkt dieses Kreises heißt Umkreismittelpunkt.

Der Umkreismittelpunkt entsteht dort, wo sich die Mittelsenkrechten der Dreiecksseiten schneiden. Von diesem Punkt aus sind alle drei Eckpunkte gleich weit entfernt – deshalb kann man einen Kreis zeichnen, der alle drei Punkte berührt.

Je nach Art des Dreiecks liegt der Umkreismittelpunkt:

• innerhalb des Dreiecks (spitzwinkliges Dreieck),

• auf einer Seite (rechtwinkliges Dreieck),

• oder außerhalb des Dreiecks (stumpfwinkliges Dreieck).

Merke:

👉 Der Umkreis eines Dreiecks ist der Kreis, der durch alle drei Eckpunkte des Dreiecks verläuft. Bei jedem Dreieck kann ein Umkreis gezeichnet werden.

Beispiel: Umkreis eines spitzwinkligen Dreiecks

Zeichnest oder konstruierst du den Umkreis, so liegt der Umkreismittelpunkt innerhalb des Dreiecks. Bei einem spitzwinkligen Dreieck sind alle drei Innenwinkel kleiner als 90°.

Beispiel: Umkreis eines rechtwinkligen Dreiecks

Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt stets auf einer Dreiecksseite. Ein rechtwinkliges Dreieck liegt dann vor, wenn ein Dreieck genau einen rechten Winkel hat.

Beispiel: Umkreis eines stumpfwinkligen Dreiecks

Bei einem stumpfwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt stets außerhalb des Dreiecks. Ein stumpfwinkliges Dreieck liegt dann vor, wenn ein Dreieck genau einen stumpfen Winkel hat. Das bedeutet, dass ein Winkel größer als 90° sein muss.

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Wie findest du den Umkreismittelpunkt?

Der Umkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Dreiecksseiten.
In der Praxis reicht es aus, zwei Mittelsenkrechten zu zeichnen oder zu konstruieren – ihr Schnittpunkt ist bereits der Umkreismittelpunkt.
Die dritte Mittelsenkrechte dient nur zur Kontrolle, denn auch sie muss durch denselben Punkt verlaufen.

Alle Punkte auf einer Mittelsenkrechten sind von den beiden Endpunkten der Strecke gleich weit entfernt.
Da diese Eigenschaft für alle drei Dreiecksseiten gilt, ist ihr gemeinsamer Schnittpunkt von allen drei Eckpunkten gleich weit entfernt.
Genau das ist die Eigenschaft eines Kreismittelpunkts – und damit auch des Umkreismittelpunkts.

Merke:
👉 Der Umkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten und hat zu allen drei Eckpunkten des Dreiecks den gleichen Abstand.

Umkreis eines Dreiecks zeichnen oder konstruieren: Schritt für Schritt

Dir liegt ein Dreieck vor, zu dem du einen Umkreis zeichnen sollst. Gehe dabei folgendermaßen vor:

Schritt 1:

• Miss zunächst die Länge einer Dreiecksseite.
• Markiere anschließend den Mittelpunkt dieser Strecke.
• Lege nun das Geodreieck mit der Nulllinie auf die Strecke, sodass du eine Senkrechte durch den Mittelpunkt zeichnen kannst.
  Damit hast du die erste Mittelsenkrechte konstruiert.

Konstruierst du die Mittelsenkrechte, so wird die Mittelsenkrechte mithilfe des Zirkels angefertigt. Eine genaue Erklärung findest du hier.

Schritt 2:

Im zweiten Schritt zeichnest du zu einer zweiten Dreiecksseite die Mittelsenkrechte.
Die Vorgehensweise ist dabei genauso wie in Schritt 1.
Die beiden Mittelsenkrechten schneiden sich nun in einem Punkt – das ist der Umkreismittelpunkt.

Schritt 3:

Im dritten Schritt kannst du nun noch die dritte Mittelsenkrechte zu einer weiteren Dreiecksseite zeichnen. Auch sie verläuft durch den Schnittpunkt der beiden zuvor gezeichneten Mittelsenkrechten.
Dieser Schnittpunkt ist der Umkreismittelpunkt des Dreiecks – alle drei Mittelsenkrechten treffen sich immer genau dort.

Schritt 4: Umkreis zeichnen

Stich den Zirkel im Schnittpunkt der Mittelsenkrechten ein – das ist der Umkreismittelpunkt.
Der Umkreisradius ist die Entfernung vom Umkreismittelpunkt zu einem beliebigen Eckpunkt des Dreiecks.
Da der Umkreismittelpunkt von allen drei Eckpunkten gleich weit entfernt ist, kannst du jeden Eckpunkt zum Einstellen des Zirkels verwenden.

Zeichne nun den Kreis.
Ist die Konstruktion korrekt, verläuft der Umkreis durch alle drei Eckpunkte des Dreiecks.

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