Was ist eine Potenz?

Eine Potenz z.B. 2³ besteht aus den beiden Bestandteilen Basis und Exponent (= Hochzahl).
Der Exponent gibt an, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert wird.
Im LehrplanPLUS der Realschule Bayern lernst du das Thema Potenzen bereits in der 5. Klasse kennen.

Was ist eine Quadratzahl?

Eine Potenz mit dem Exponenten 2 wird als Quadratzahl bezeichnet.
Quadratzahlen sind besondere Potenzen, da die Basis genau zweimal als Faktor vorkommt.
Die Quadratzahlen bis 20² solltest du besonders gut beherrschen und auswendig lernen.

Übersicht der Quadratzahlen bis 20²

In der 7. Klasse Mathe der Realschule Bayern wird dieses Wissen dann erweitert, es tauchen Aufgaben mit Klammern um die Basis auf, Potenzen mit negativen Exponenten und auch die Potenzgesetze kommen dran.

Auf dieser Mathe-Lernplattform kannst du Mathe online lernen und üben: Du findest Lernvideos, interaktive Übungen und Arbeitsblätter mit Matheaufgaben zum Ausdrucken.

Potenzen mit einer Klammer um die Basis:

Exponent bezieht sich auf die ganze Klammer

Steht eine Klammer um die Basis, dann wirkt der Exponent auf den gesamten Inhalt der Klammer.
Das bedeutet: Die ganze Zahl in der Klammer wird mehrfach mit sich selbst multipliziert.
Beispiel:

$(-2)^4$

Hier muss −2 viermal miteinander multipliziert werden. Dadurch entsteht ein positives Ergebnis, weil eine gerade Anzahl negativer Faktoren vorliegt.

Ohne Klammer: Exponent wirkt nur auf die Zahl

Fehlt die Klammer, so bezieht sich der Exponent nur auf die Zahl direkt davor.
Ein Minuszeichen davor gehört nicht zur Potenz, sondern wird erst nach dem Potenzieren berücksichtigt.
Beispiel:

$-2^4    bb$

Hier wird die Zahl 2 vier Mal mit sich selbst multipliziert und das negative Vorzeichen vor das Ergebnis gesetzt. Deshalb unterscheidet sich das Ergebnis deutlich von einer Potenz mit Klammer.

Merke:
Klammer da → alles potenzieren.
Keine Klammer → nur die Zahl potenzieren.

Brüche mit Klammer – Exponent wirkt auf Zähler und Nenner

Steht der Bruch in einer Klammer, bezieht sich der Exponent auf Zähler und Nenner gleichzeitig.

Brüche ohne Klammer – Exponent wirkt nur auf den Zähler

Fehlt die Klammer, wirkt der Exponent nur auf den Zähler, der Nenner bleibt unverändert.

Merksatz:
👉 Klammer da → Zähler und Nenner potenzieren.
👉 Keine Klammer → nur den Zähler potenzieren.

Besondere Potenzen:

Potenzen mit Exponent 1

Eine Potenz mit beliebiger Basis und der Zahl 1 im Exponent bedeutet, dass die Basis einmal mit sich selbst multipliziert wird, sodass sich stets als Ergebnis die Zahl der Basis ergibt.

        Potenzen mit Exponent 0

Eine Potenz mit beliebiger Basis und der Zahl 0 im Exponent bedeutet, ergibt als Ergebnis stets 1. Sogar 0⁰ = 1.

Anhand von diesem Beispiel erkennst du, wie du Potenzen mit einem negativen Exponent berechnen kannst.

Allgemein kannst du jede Potenz mit einem negativen Exponent so schreiben:

Potenzgesetze:

In der 7. Klasse Mathematik der Realschule Bayern lernst du außerdem folgende Regeln für Potenze. Mithilfe von Potenzgesetzen können Aufgaben mit Potenzen leichter gelöst werden. Es gibt folgende 3 Potenzgesetze:

Potenzen mit gleicher Basis

Dieses Potenzgesetz greift, wenn du Potenzen mit gleicher Basis multiplizierst bzw. dividierst. Dieser Regel nach kannst du dann die Exponenten addieren bzw. subtrahieren. Die Basis bleibt erhalten und verändert sich nicht. Wenn du nun den Potenzwert berechnest, hast du das Ergebnis dieser Aufgabe.

Potenzen mit gleichem Exponent

Dieses Potenzgesetz greift, wenn du Potenzen mit gleichem Exponent multiplizierst bzw. dividierst. Dieser Regel nach kannst du dann die Basis multiplizieren bzw. dividieren. Der Exponent bleibt erhalten und verändert sich nicht. Wenn du nun den Potenzwert berechnest, hast du das Ergebnis dieser Aufgabe.

Potenzen potenzieren

Diese Regel greift, wenn du eine Potenz mit sich selbst multiplizieren sollst. Das erkennst du daran, dass eine Potenz, die in Klammern gesetzt ist, einen weiteren Exponent hat. Das Potenzgesetz besagt, dass du Potenzen potenzierst, indem du die Exponenten multiplizierst. Indem du nun den Wert dieser Potenz ausrechnest, hast du das Ergebnis.

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