Was ist das Skalarprodukt?

Das Skalarprodukt (auch: inneres Produkt) ist eine Rechenregel, mit der man zwei Vektoren miteinander „verknüpft“.
Das Ergebnis ist keine Richtung, sondern eine Zahl (Skalar).

Was sagt das Ergebnis des Skalarprodukts aus?

Mögliche Ergebnisse des Skalarprodukts

Berechnest du das Skalarprodukt von zwei Vektoren, so gibt es für das Ergebnis folgende Möglichkeiten:

– Skalarprodukt ist positiv (>0), dann weißt du, dass die Vektoren einen spitzen Winkel bilden. Ein Winkel ist spitz, wenn dieser kleiner als 90°ist.

– Skalarprodukt hat Wert 0, dann weißt du, dass die beiden Vektoren senkrecht (=orthogonal) zueinander stehen. Die Vektoren bilden somit einen rechten Winkel.

– Skalarprodukt ist negativ (<0), dann weißt du, dass die beiden Vektoren in entgegengesetzte Richtungen zeigen und somit einen stumpfen Winkel bilden. Ein Winkel ist stumpf, wenn dieser größer als 90° und kleiner als 180° ist.

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Wie prüft man, ob zwei Vektoren senkrecht /orthogonal sind?

Beispiel: Vektoren senkrecht (Skalarprodukt 0)

In diesem Beispiel sind die beiden Vektoren a und b gegeben. Berechnest du von diesen Vektoren das Skalarprodukt, so multiplizierst du jeweils die x-Werte der Vektoren und addierst diese mit dem Produkt der y-Werte der Vektoren. In diesem Beispiel ergibt das Skalarprodukt somit den Wert 0.
Du kannst nun daraus folgern, dass die Vektoren a und b senkrecht (=orthogonal) zueinander stehen.
Eine Zeichnung verdeutlicht dies ebenso und kann als gute Überprüfung deines Ergebnisses dienen.

Beispiel: Vektoren nicht senkrecht (Skalarprodukt nicht 0)

Bei diesem Beispiel ergibt das Skalarprodukt der beiden Vektoren den Wert -14 und somit nicht 0. Du kannst nun daraus folgern, dass die beiden Vektoren nicht senkrecht zueinander stehen.

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Skalarprodukt von beliebigen Vektoren berechnen – So geht’s

Das Bild zeigt dir die Herleitung für zwei beliebige Vektoren: Du kannst ausgehend von den Vektoren a und b jeweils die Steigung m ermitteln, indem du den Kehrwert bildest. Ergibt das Produkt der Steigungen den Wert -1, so weißt du, dass diese senkrecht zueinander stehen. Eine Umformung der Gleichung ergibt die allgemeine Formel für die Berechnung des Skalarprodukts von Vektoren. Ergibt das Skalarprodukt den Wert 0, so müssen die Vektoren einen rechten Winkel bilden. Auch die Umkehrung gilt: Bei senkrechten Vektoren muss immer das Skalarprodukt = 0 sein.

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