Indirekte Proportionalität – Mathe-Lernvideos und Aufgaben (Mathe 7. Klasse)
Was ist indirekte Proportionalität?
Zwei Größen verändern sich entgegengesetzt, dabei bleibt ihr Produkt konstant.
Das bedeutet: Wird die eine Größe größer, wird die andere kleiner.
Zum Vergleich: Bei der direkten Proportionalität verändern sich zwei Größen gleich, sodass der Quotient immer gleich bleibt.
In der 7. Klasse Mathematik der Realschule lernst du die indirekte Proportionalität kennen. In der 6. Klasse hast du bereits die direkte Proportionalität gelernt – nun wird dieses Wissen erweitert.
Beispiel für eine indirekte Proportionalität
Beispiel: Arbeiter und benötigte Zeit
Verdoppelt sich die Anzahl der Arbeiter, so halbiert sich die benötigte Zeit.
Verdreifacht sich die Anzahl der Arbeiter, so wird nur ein Drittel der Zeit benötigt.
Bei der indirekten Proportionalität gilt:
Wird x mit einem Faktor multipliziert, so wird durch denselben Faktor dividiert.
Wird dividiert, so wird y multipliziert.
Analog gilt: Wird die Anzahl der Arbeiter halbiert, verdoppelt sich die Arbeitszeit.
Zum Vergleich:
Bei der direkten Proportionalität werden x und immer mit demselben Faktor multipliziert oder dividiert – beide verändern sich also gleich.
Produktgleichheit bei einer indirekten Proportionalität
Die x- und y-Werte aus der Wertetabelle lassen sich als Zahlenpaare (xIy) darstellen.
Bei einer indirekten Proportionalität ist das Produkt aus x und y immer gleich.
Rechnest du also ,erhältst du stets denselben Wert.
Beispiel:
10 · 18 = 180
20 · 9 = 180
30 · 6 = 180
➡️ Das Produkt bleibt konstant.
In Aufgaben zur indirekten Proportionalität musst du häufig fehlende Werte in Tabellen ergänzen oder prüfen, ob Zahlenpaare indirekt proportional zueinander sind. Dabei hilft dir die Produktgleichheit als sicheres Kontrollmittel.
Hyperbel als Graph bei einer indirekten Proportionalität
Die Zahlenpaare (xIy) stellen Punkte im Koordinatensystem dar. Überträgst du diese nun in ein Koordinatensystem und verbindest sie zu einem Graph, so entsteht eine Hyperbel. Immer wenn eine indirekte Proportionalität vorliegt, muss eine Hyperbel entstehen. Umgekehrt gilt auch: Liegt eine Hyperbel als Graph vor, so handelt es sich um eine indirekte Proportionalität.
Bei einer direkten Proportionalität (Mathe 6. Klasse) hingegen ist als Graph eine Ursprungshalbgerade entstanden.
Erkennst du, dass bei einer Zuordnung weder eine Ursprungshalbgerade, noch eine Hyperbel ensteht, handelt es sich um keine direkte oder indirekte Zuordnung. Es gibt auch Zuordnungen, die weder noch sind.
Von der Wertetabelle zur Hyperbel
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Indirekte Proportionalität und Beispiele für die Anwendung
Das Thema „Indirekte Proportionalität“ ist im Lehrplan Mathematik der Realschule Bayern in der 7. Klasse verankert. Das Thema gehört in den Themenbereich „Funktionaler Zusammenhang“.
Bereits in der 6. Klasse hast du die Zuordnung der direkten Proportionalität gelernt, darauf baut jetzt in der 7. Klasse die Indirekte Proportionalität auf.
In 8I bzw. 9II/III wird das Thema „Direkte Proportionalität“ erneut aufgegriffen und hin zur „Linearen Funktion“ erweitert.
Beispiele aus dem Alltag
Indirekte Proportionalität begegnet dir häufig im Alltag. Arbeiten mehr Personen gleichzeitig, verkürzt sich die benötigte Zeit. Werden doppelt so viele Arbeiter eingesetzt, dauert die Arbeit nur halb so lange. Ähnliche Beispiele sind Futtervorräte für Tiere oder die Anzahl von Maschinen bei einer Aufgabe.
Typische Aufgaben in der Schule
In der Schule erkennst du indirekte Proportionalität oft an Wertetabellen, Textaufgaben oder Graphen. Häufig sollst du fehlende Werte berechnen, prüfen, ob eine Zuordnung indirekt proportional ist, oder den gemeinsamen Produktwert bestimmen. Auch das Zeichnen einer Hyperbel im Koordinatensystem gehört zu typischen Aufgaben.
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