Kongruenzabbildungen – Lernvideos und Aufgaben

Was ist eine Kongruenzabbildung?

Sind bei einer Abbildung Urfigur und Bildfigur kongruent (deckungsgleich), spricht man von einer Kongruenzabbildung.
Das bedeutet: Beide Figuren haben exakt die gleiche Form und Größe – sie unterscheiden sich nur in ihrer Lage im Koordinatensystem.

Im Lehrplan PLUS der Realschule Bayern lernst du in der 6. Klasse als erste Kongruenzabbildung die Achsenspiegelung kennen. Dabei wird eine Urfigur an einer Spiegelachse gespiegelt und auf eine kongruente Bildfigur abgebildet.

In der 7. Klasse folgt die Parallelverschiebung als weitere Kongruenzabbildung.
Hier wird die Urfigur mithilfe eines Verschiebungsvektors verschoben – Form und Größe bleiben dabei unverändert.

In der 9. Klasse wird die zentrische Streckung behandelt.
Diese gehört jedoch nicht zu den Kongruenzabbildungen, sondern zu den Ähnlichkeitsabbildungen, da sich die Größe der Figur verändert.

💡 Merke:

Bleiben Form und Größe gleich, handelt es sich um eine Kongruenzabbildung.

Wie entsteht eine Bildfigur durch Achsenspiegelung?

In der Abbildung siehst du eine Urfigur (ABC) und ihre Bildfigur (A’B’C‘).
Die Bildfigur entsteht durch eine Spiegelung an der Geraden s.

Dabei gilt:

• Jeder Punkt der Urfigur wird spiegelbildlich auf die andere Seite der Spiegelachse übertragen.

• Der Abstand eines Punktes zur Spiegelachse ist genauso groß wie der Abstand seines Bildpunktes.

• Urfigur und Bildfigur sind deckungsgleich (kongruent) – Form und Größe bleiben also erhalten.

Auffällig ist hier die Orientierung:
Die Urfigur ist gegen den Uhrzeigersinn angeordnet, die Bildfigur im Uhrzeigersinn.

Das bedeutet:
Eine Achsenspiegelung verändert die Lage und auch die Orientierung einer Figur, aber nicht ihre Größe oder Form.

Welche Merkmale hat eine Kongruenzabbildung?

Eine Kongruenzabbildung verändert die Lage einer Figur, aber nicht ihre Form oder Größe.
Urfigur und Bildfigur sind also deckungsgleich.

Jede Kongruenzabbildung besitzt folgende Merkmale:

• Längentreu: Strecken behalten ihre Länge.

• Winkeltreu: Winkel bleiben gleich groß.

• Geradentreu: Geraden bleiben Geraden.

• Kreistreu: Kreise bleiben Kreise mit gleichem Radius.

• Parallelentreu: Parallele Strecken bleiben parallel.

👉 Das bedeutet: Die Bildfigur ist genauso groß wie die Urfigur – sie wurde nur gespiegelt, verschoben oder gedreht.

Wie verändert sich der Umlaufsinn bei einer Kongruenzabbildung?

Die Urfigur (z. B. ein Dreieck oder Viereck) wird in der Regel gegen den Uhrzeigersinn beschriftet.

Bei manchen Kongruenzabbildungen bleibt dieser Umlaufsinn erhalten, bei anderen ändert er sich.

• Achsenspiegelung:
  Der Umlaufsinn kehrt sich um.
  Eine Figur, die gegen den Uhrzeigersinn beschriftet ist, wird danach im Uhrzeigersinn durchlaufen.

• Parallelverschiebung:
  Der Umlaufsinn bleibt erhalten.
  Die Figur wird nur verschoben – ihre Orientierung ändert sich nicht.

💡 Merke:

Spiegelungen verändern den Umlaufsinn, Verschiebungen nicht.

Was sind Fixpunkte bei einer Kongruenzabbildung?

Ein Fixpunkt ist ein Punkt, der durch eine Abbildung auf sich selbst abgebildet wird.

Das bedeutet: Urpunkt und Bildpunkt fallen zusammen.
Man schreibt zum Beispiel: D = D′

Fixpunkte bei verschiedenen Kongruenzabbildungen

• Parallelverschiebung:
  Es gibt keine Fixpunkte, da jeder Punkt verschoben wird.

• Achsenspiegelung:
  Es gibt unendlich viele Fixpunkte.
  Alle Punkte auf der Spiegelachse bleiben unverändert.

💡 Merke:

Ein Fixpunkt bleibt bei der Abbildung genau an derselben Stelle.