Gleichungen lösen – Erklärvideos und Aufgaben (Mathe 6. Klasse)
Was ist eine Gleichung?
Eine Gleichung besteht aus zwei Termen, die durch ein Gleichheitszeichen „=“ verbunden sind.
Das Gleichheitszeichen bedeutet:
👉 Beide Seiten haben denselben Wert.
Um eine Gleichung zu lösen, formst du sie mit sogenannten Äquivalenzumformungen um.
Dabei führst du auf beiden Seiten immer dieselbe Rechenoperation durch, bis die Variable (z. B. x) alleine steht.
Am Ende gibst du die Lösungsmenge IL an.
Beispiel mit Erklärung
So löst du Gleichungen – Schritt für Schritt
In diesem Beispiel siehst du, wie du eine Gleichung mithilfe von Äquivalenzumformungen löst, sodass die Variable am Ende alleine steht.
Beispiel:
2 · x + 5 = 10
1. Schritt: Subtrahiere 5 auf beiden Seiten.
2 · x = 5
2. Schritt: Teile beide Seiten durch 2.
x = 2,5
Die Lösungsmenge hängt von der Grundmenge ab
Die gefundene Lösung ist x = 2,5.
Ob diese Lösung gültig ist, hängt davon ab, welche Zahlen im Grundmenge G erlaubt sind.
Wichtig zu verstehen:
Eine Gleichung kann rechnerisch richtig gelöst sein –
und trotzdem keine Lösung im gewählten Zahlenbereich haben.
Warum?
Weil die gefundene Zahl vielleicht in diesem Zahlenbereich nicht enthalten ist.
Beispiel
Wir haben berechnet:
x = 2,5
Nun prüfen wir die Grundmenge:
Diese Zahl gehört jedoch nicht zu den natürlichen Zahlen (ℕ), nicht zu den natürlichen Zahlen mit 0 (ℕ₀) und auch nicht zu den ganzen Zahlen (ℤ). In diesen Zahlenbereichen ist die Lösungsmenge daher die leere Menge. Es gilt: IL = ∅ bzw. IL = { }.
Erst im Zahlenbereich der rationalen Zahlen (ℚ) ist 2,5 enthalten. Deshalb gilt hier:
L = {2,5}.
Merke:
Eine Gleichung ist erst dann vollständig gelöst, wenn du überprüft hast, ob die Lösung in der angegebenen Grundmenge liegt.
Näheres zur Grundmenge:
Die Grundmenge G gibt an, welche Zahlen für die Variable eingesetzt werden dürfen.
Bevor du die Lösungsmenge IL angibst, musst du prüfen,
ob der berechnete Wert zur angegebenen Grundmenge gehört.
Nur wenn der Wert in der Grundmenge enthalten ist, darf er als Lösung angegeben werden.
Typische Grundmengen
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Weitere Beispiele für Äquivalenzumformungen
Beispiel
Bestimme die Lösungsmenge für G = ℚ.
Schritt 1: Strichrechnung entfernen
Subtrahiere 1 auf beiden Seiten:
Schritt 2: Die Variable freistellen
Teile beide Seiten durch −4:
Lösungsmenge angeben
Erklärung:
Zuerst entfernst du wie gewohnt die Strichrechnung (+1), indem du die Äquivalenzumformung −1 ausführst.
Im zweiten Schritt musst du die Variable von dem Faktor −4 befreien.
Da gilt:
musst du beide Seiten durch −4 teilen.
Wichtig:
Beim Teilen durch eine negative Zahl bleibt das Vorzeichen erhalten.
8 : (−4) = −2
Viele Schülerinnen und Schüler vergessen hier das Minuszeichen – achte also besonders darauf.
In welchen Jahrgangsstufen kommen Gleichungen im Lehrplan PLUS der Realschule Bayern vor?
Das Thema „Gleichungen lösen“ taucht im Lehrplan PLUS der Realschule Bayern im Fach Mathematik in der 5. Klasse zum ersten Mal auf. Dein Wissen zu den Gleichungen wird in der 6. und 7. Klasse der Realschule Bayern jeweils erweitert, indem Brüche und Dezimalzahlen in Gleichungen auftauchen und Variablen zusammengefasst werden müssen.
z.B. 3x + 4 + 2x = 10.
In der 8. Klasse Mathe der Realschule Bayern tauchen erneut Gleichungen auf, neu ist nun bei den Aufgaben, dass die Variable auf beiden Seiten von =“ auftritt.
In der 9. Klasse lernst du „Lineare Gleichungssysteme“ zu lösen. Auch in der 10. Klasse kommst du mit dem Thema in Berührung und du löst nun „Quadratische Gleichungen“.
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