Drehmatrix – 10. Klasse (Mathezweig)
Was ist eine Drehmatrix?
In der 10. Klasse (Mathezweig) der Realschule Bayern lernst du wie du fehlende Koordinaten mithilfe einer Drehmatrix berechnen kannst.
Die Drehmatrix ist ein zentrales mathematisches Werkzeug, mit dem sich Punkte im Koordinatensystem um einen festen Winkel drehen lassen. Sie gehört zur linearen Algebra und wird ausschließlich im Mathematikunterricht Realschulen im Mathezweig 10. Klasse behandelt. Mit einer Drehmatrix kannst du ganz einfach die Koordinaten eines gedrehten Punktes berechnen.
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Herleitung der Drehmatrix – So geht’s
In der 10. Klasse (Mathezweig) der Realschule Bayern wendest du die Drehmatrix an und leitest diese auch mathematisch her.
Es wurde ein rechtwinkliges Dreieck OFP mithilfe der Koordinaten von P, also x und y, gebildet. Dreht man das komplette Dreieck um den Winkel α, so erhält man das
rechtwinklige Dreieck OF’P‘, welches dieselben Innenwinkel und Seitenlängen besitzen muss. Die Abbildung der Drehung ist eine Kongruenzabbildung, deshalb müssen Ur- und Bilddreieck kongruent (=deckungsgleich) sein. Die Seitenlänge der Strecke von O nach F wird als x bezeichnet, die Seitenlänge von F nach P als y.
Um nun die Koordinaten des gesuchten Bildpunktes P‘ berechnen zu können, wird folgende Vektorkette aufgestellt:
Nachdem die Koordinaten des Bildpunktes nicht bekannt sind, muss zunächst der „Umweg“ vom Ursprung zum Punkt F‘ und dann weiter von F‘ nach P‘ in Kauf genommen werden.
Aufgrund der Innenwinkelsumme im Dreieck von 180°, kann ermittelt werden, dass der Winkel EF’P‘ ebenso dem Drehwinkel alpha entspricht.
Im letzten Schritt wird die Drehmatrix (gelbe Markierung) ausgeklammert und mit dem Vektor x und y markiert.
Wenn du nun in die Drehmatrix für alpha den Drehwinkel einsetzt und anstelle von x und y den Punkt, der gedreht werden soll, so erhältst du die Koordinaten des Bildpunktes.
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Beispiel: Koordinaten des Bildpunktes P‘ berechnen mithilfe der Drehmatrix
Dieses Beispiel zeigt dir wie du in der 10. Klasse (Mathezweig) der Realschule Bayern die Koordinaten eines Bilpunktes P‘ mithilfe der Drehmatrix berechnen kannst.
Gegeben sind hier die Koordinaten des Urpunktes P und der Drehwinkel, um den dieser gedreht werden soll auf seinen Bildpunkt P‘. Setze nun in die Drehmatrix anstelle von alpha den gegebenen Drehwinkel ein, hier 60°. Die Drehmatrix findest du auch in der Formelsammlung. Anstelle von x setzt du den x-Wert von P ein, anstelle von y den y-Wert von P.
Durch Multplikation der Drehmatrix mit dem Vektor erhältst du nun die Koordinaten von P‘.
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