Nullstelle berechnen – Erklärvideos und Mathe-Aufgaben

Was ist eine Nullstelle?

Als Nullstelle bezeichnet man den Punkt, an dem der Graph einer Funktion die x-Achse schneidet. An dieser Stelle hat der Funktionswert den Wert 0, es gilt also: y = 0.

Je nach Funktion kann es keine, eine oder mehrere Nullstellen geben.
Manche Funktionsgraphen schneiden die x-Achse gar nicht, andere genau einmal oder auch mehrfach.

Der Begriff der Nullstelle spielt eine zentrale Rolle beim Untersuchen von Funktionen und
wird in der Schule zunächst an einfachen Beispielen eingeführt.

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Nullstellen bei linearen Funktionen

Bei linearen Funktionen beschreibt die Nullstelle den Punkt, an dem die Gerade die x-Achse schneidet. Dieser Punkt hat immer die y-Koordinate 0.

In der 8. Klasse (8II/III) lernst du den Begriff Nullstelle und wie du diese von Ursprungsgeraden berechnest.
In der 9. Klasse (9II/III) dann auch von linearen Funktionen der Form y = mx + t.
Im Mathezweig lernst du beide Inhalte bereits in 8I.

Lineare Funktionen haben die Form y = m · x + t.
Ob und wo eine Nullstelle existiert, hängt von der Steigung m und dem y-Achsenabschnitt t ab. Verläuft eine Gerade parallel zur x-Achse (z. B. y = 3), so besitzt sie keine Nullstelle,
da sie die x-Achse nicht schneidet.
In den folgenden Abschnitten lernst du, wie man die Nullstelle einer linearen Funktion
grafisch und rechnerisch bestimmt.

Nullstelle einer linearen Funktion zeichnerisch bestimmen – Beispiel

In diesem Beispiel ist der Graph der linearen Funktion
y = 4x + 2 in das Koordinatensystem eingetragen. Der y-Achsenabschnitt t ist hier 2, somit schneidet die Gerade die y-Achse auf Höhe 2. Die Steigung m beträgt 4/1. Du kannst also ausgehend von y = 2 das Steigungsdreieck 1 nach rechts und 4 nach oben antragen.
Wenn du die Stelle markierst, an der der Graph die x-Achse schneidet (hier grün markiert), hast du die Nullstelle zeichnerisch bestimmt.

Nullstelle berechnen – Beispiel

In diesem Beispiel siehst du, wie du die Nullstelle berechnen kannst.
Nachdem die Nullstelle immer der Schnittpunkt mit der x-Achse ist, gilt immer: y = 0.
Wenn du nun in die Funktionsgleichung anstellt von y Null einsetzt, kannst du diese Gleichung auflösen, sodass x am Ende alleine steht. Eine Wiederholung von Äquivalenzumformungen findest du hier. x ergibt in diesem Beispiel -0,5. Du weißt somit, dass du Nullstelle die Koordinaten (-0,5I0) hat. Die Zeichnung dient als Kontrolle und du erkennst, dass auch hier die Nullstelle exakt an dieser Stelle liegt.

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Nullstelle berechnen – Weiteres Beispiel

Dieses Beispiel zeigt eine lineare Funktion, die nicht in der Normalform y = mx + t dargestellt ist.

Hier gibt es zwei Möglichkeiten:
1. Setze anstelle von y die Zahl 0 ein und löse nach x auf.
2. Du formst die Funktionsgleichung mithilfe von Äquivalenzumformungen um, sodass y = mx + t dasteht. In diese Normalform kannst du nun auch anstelle von y Null einsetzen und die Nullstelle berechnen.

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