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Lösungen: Zentrische Streckung von Vektoren
Aufgabe 1: Ermittle rechnerisch die Koordinaten der Pfeile
und
.
Z(2│5); k = 3
a) P(9│2) P‘(x‘│y‘)
=
=
„Spitze – Fuß“; Z als Fuß und P als Spitze
3 ∙
=
Z(-3│2); k = 0,5
b) P(-1│3) P‘(x‘│y‘)
=
=
-1 – (-3) = -1 + 3 = 2
∙
=
Z(5│0); k = -1
c) P(-2│1) P‘(x‘│y‘)
=
=
∙
=
Es wird bei allen Beispielen die Formel
verwendet.
Der Vektor
kann durch „Spitze – Fuß“ berechnet werden und nachdem k gegeben ist,
kann der gesuchte Vektor
ausgerechnet werden.
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Aufgabe 2: Ermittle die fehlenden Koordinaten bzw. den fehlenden Wert für k.
a)
= 8 ∙
x = -40; y = 24
b)
= -0,5 ∙
14 = -0,5 ∙ x │ : (-0,5)
-28 = x
y = -0,5 ∙ 10
y = -5
c)
= k ∙
23,4 = k ∙ (-2,6) │ : (-2,6) Zweite Zeile
-9 = k
x = -9 ∙
Erste Zeile
x = -3
Hier muss zunächst k berechnet werden: In der unteren Zeile ist nur k als
einzige Unbekannte. Wenn k dann bekannt ist, kann im Anschluss die erste
Zeile gelöst werden.
Aufgabe 3: Ermittle rechnerisch die Koordinaten von P‘.
a) Der Punkt P(7│4) wird durch zentrische Streckung mit dem Zentrum Z(2│5)
und dem Streckungsfaktor k = 4 auf den Punkt P‘ abgebildet.
1. Möglichkeit: Vektoraddition
=
=
=
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=
=
=
P‘(22│1)
2. Möglichkeit: Abbildungsvorschrift
=
Z(2│5); P‘(x’│y‘)
=
=
= 4 ∙
I x‘ – 2 = 20 │ +2
^ II y‘ – 5 = -4 │ + 5
x‘ = 22
y‘ = 1
P‘(22│1)
b) Der Punkt P(-1│2) wird durch zentrische Streckung mit dem Zentrum Z(3│-2)
und dem Streckungsfaktor k = -2 auf den Punkt P‘ abgebildet.
1. Möglichkeit: Vektoraddition
=
=
=
=
=
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=
P‘(11│-10)
2. Möglichkeit: Abbildungsvorschrift
=
=
Z(3│-2); P‘(x’│y‘)
=
=
P(-1│2)
=
I x‘ – 3 = 8 │ +3
^ II y‘ + 2 = -8 │ -2
x‘ = 11
y‘ = -10
P‘(11│-10)
c) Der Punkt P(0│5) wird durch zentrische Streckung mit dem Zentrum Z(-1│-3)
und dem Streckungsfaktor k = 3 auf den Punkt P‘ abgebildet.
1. Möglichkeit: Vektoraddition
=
=
=
=
=
=
P‘(2│21)
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2. Möglichkeit: Abbildungsvorschrift
=
=
Z(-1│-3); P‘(x’│y‘)
=
=
P(0│5)
= 3
I x‘ + 1 = 3 │ -1
^ II y‘ + 3 = 24 │ -3
x‘ = 2
y‘ = 21
P‘(2│21)
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